裁剪和缩放对相机内参的影响

对图像做裁剪或缩放后，如果还要使用它进行投影、反投影等几何计算，就需要同步更新相机内参。

K = \begin{bmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

其中， $f_x$ 、 $f_y$ 是以像素为单位的焦距， $(c_x, c_y)$ 是主点坐标。以下均以图像左上角为坐标原点。

图像裁剪与相机内参示意图

裁剪：焦距不变，主点平移

裁剪不会改变像素的尺度，因此 $f_x$ 、 $f_y$ 保持不变；变化的是主点相对于新图像原点的位置。

假设裁剪区域的左上角位于原图的 $(\Delta x, \Delta y)$ ，那么：

c_x' = c_x - \Delta x, \qquad c_y' = c_y - \Delta y

所以，只从右侧或底部裁剪时，图像原点不变，内参无需调整；从左侧或顶部裁剪时，则要减去相应的裁剪像素数。

设原图尺寸为 $W \times H$ ，缩放后为 $W' \times H'$ 。定义：

s_x = \frac{W'}{W}, \qquad s_y = \frac{H'}{H}

按 $u' = s_x u$ 、 $v' = s_y v$ 的坐标变换，新的内参为：

K' = \begin{bmatrix} s_x f_x & 0 & s_x c_x \\ 0 & s_y f_y & s_y c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

等比例缩放时， $s_x = s_y = s$ 。例如，将宽高都缩小到原来的 $1/\alpha$ ，四个参数都应除以 $\alpha$ 。

把两步合起来，就得到：

K' = \begin{bmatrix} s_x f_x & 0 & s_x(c_x - \Delta x) \\ 0 & s_y f_y & s_y(c_y - \Delta y) \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

例如，先从左侧裁掉 100 像素，再将图像缩小到一半，新的横向主点坐标就是 $(c_x - 100)/2$ 。如果先缩放再裁剪，裁剪偏移量应按缩放后的像素坐标计算。

以上公式采用直接缩放像素坐标的约定。需要与具体图像库逐像素对齐时，还应核对其像素中心和插值采样约定。